GNGTS 2013 - Atti del 32° Convegno Nazionale

L’equazione del moto è la seguente: (4) Con C e K matrici di smorzamento e rigidezza e r vettore di trascinamento avente 1 o 0 nella posizione associata ai gradi di libertà, a seconda che questi siano o meno concordi con la direzione dell’accelerazione al suolo. La soluzione dell’equazione del moto può essere espressa come combinazione dei modi di vibrare del sistema: (5) dove Φ è la matrice modale e z è il vettore delle coordinate modali, le cui componenti z i esprimono ognuna l’ampiezza dell’i-esimo modo di vibrare. Sostituendo tale espressione nell’equazione del moto, il problema è disaccoppiato in n equazioni indipendenti, ciascuna delle quali fornisce la risposta al sisma del corrispondente modo di vibrare: per i=1,2,…, n. (6) dove ξ i e ω i =2πf i sono rispettivamente lo smorzamento e la pulsazione modale con f i frequenza modale. Γ i è il coefficiente di partecipazione dell’i-esimo modo che ha la seguente espressione: (7) Note le soluzioni in termini di coordinate modali il moto nello spazio può essere ricostruito tramite: (8) Le deformate modali sono note in ciascun piano in corrispondenza dei punti di misura e la relazione che lega le deformate nei punti di misura Φ* con le deformate modali di piano rigido Φ è la seguente: (9) con: (10) dove D è la matrice che contiene i coefficienti delle Eqq. (3). Una volta ortogonalizzati i modi rispetto alle masse e calcolati i coefficienti di partecipazione per le due direzioni, con annessa verifica che la massa partecipante in ogni direzione sia superiore all’85% della massa totale, si calcola lo spostamento modale come somma di quello causato separatamente dal moto del terreno nelle due direzioni: (11) (12) dove S di rappresenta lo spostamento spettrale per l’i-esimo modo. 271 GNGTS 2013 S essione 2.2