GNGTS 2014 - Atti del 33° Convegno Nazionale

Spostamento e forza come processi stocastici. Si considera un modello 1D in cui la terra è descritta come una pila di strati orizzontali omogenei ed isotropi sovrastanti un semispazio con le stesse proprietà; in questo modello la superficie della terra è approssimata da un piano orizzontale descritto dalle coordinate cartesiane ( x,y ) T . In tale struttura, si assume che il campo di spostamento delle vibrazioni ambientali, U ( x,y,t ) ≡ ( U x ( x,y,t ) ,U y ( x,y,t ) ,U z ( x,y,t )) T , ed il campo di forza che lo genera, F ( x,y,t ) ≡ ( F x ( x,y,t ) ,F y ( x,y,t ) ,F z ( x,y,t )) T , siano due processi stocastici stazionarî (almeno del secondo ordine), sia nel tempo ( t ) che sul piano orizzontale ( x,y ), con media nulla e varianza finita. In questo quadro, ciascuno dei due campi è un processo stocastico stazionario trivariato e tridimensionale (p.s.s. 3V-3D), avendo tre componenti spaziali (lungo le tre direzioni cartesiane), ciascuna delle quali è un campo aleatorio (dipendente dal tempo e due coordinate spaziali). Per entrambi i p.s.s. si assume l’esistenza della densità spettrale di potenza (spettro), la quale è rappresentata dalle due matrici spettrali h U ed h F , entrambe dipendenti dalla pulsazione ω e dal vettore bidimensionale numero d’onda k ≡ ( k x ,k y ) T . Per definizione, lo spostamento dovuto al campo delle vibrazioni ambientali è costituito da piccole oscillazioni, il che implica la sussistenza d’una relazione lineare fra il medesimo ed il campo di forza che lo genera: , (1) essendo G lamatrice di Green nel dominio spaziotemporale, che contiene le proprietàmeccaniche del mezzo stratificato. Da questa formula discende che, fra le due matrici spettrali, sussiste la relazione [ottenuta, ad esempio, combinando l’Eq. (4.12.8) di Priestley (1981), e l’Eq. (3.5.21) di Vanmarcke (2010)]: , (2) dove “*” indica la coniugazione hermitiana e Ĝ è la ​matrice di Green nel dominio frequenza e numero d’onda. Si assume poi l’ulteriore ipotesi fondamentale che le tre componenti cartesiane del campo di forza siano non correlate le une con le altre, il che implica che la matrice spettrale della forza sia diagonale h F ( k x , k y , ω ) ≡ diag( h F,x ( k x , k y , ω ), h F,y ( k x , k y , ω ), h F,z ( k x , k y , ω ) ), semplificando ciò notevolmente la formula nell’Eq. (2). La potenza totale dello spostamento lungo la direzione i -esima ad ogni pulsazione ω è data infine dallo spettro marginale (p. es., Vanmarcke, 2010), che, in virtù della semplificazione che la suddetta ipotesi induce all’Eq. (2), ha la forma: . (3) L’ultima ipotesi che si adotta è che il campo di forza (ovvero ciascuna delle sue tre componenti cartesiane) sia isotropo nel piano del numero d’onda, cioè il suo spettro non dipenda dalla direzione del vettore numero d’onda, ma solo dal suo modulo. Passando ad un sistema di coordinate polari nel piano del numero d’onda, cosicché quest’ultimo sia descritto dal suo modulo k e dal suo argomento φ , l’ipotesi significa che h F, j non dipende da φ . Ne consegue che lo spettro della forza dipende da due sole variabili, h F, j ( k , ω ) ( j = x , y , z ) e l’integrale nell’Eq. (3) si separa nella parte angolare, calcolabile analiticamente, ed in quella dipendente dal modulo k , che è la sola parte da calcolarsi numericamente. In questo modo, la densità spettrale di potenza del campo di spostamento si calcola, per ogni direzione, con una sola integrazione nel modulo del numero d’onda k . È possibile mostrare che gli integrali che definiscono le potenze spettrali del campo di spostamento convergono solo se le funzioni h F, j ( k , ω ) ( j = x , y , z ) sono infinitesime al divergere di k e ciò implica che il p.s.s. forza non può essere un processo puramente aleatorio (ossia​ GNGTS 2014 S essione 2.2 211