GNGTS 2014 - Atti del 33° Convegno Nazionale

un rumore bianco) rispetto allo spazio, ma la sua densità spettrale di potenza deve essere un infinitesimo di ordine, almeno k - ε , per qualche ε > 0, quando k → +∞. In altri termini, ciò significa che la forza deve avere un “colore” relativamente alla dimensione spaziale, e questo ha importanti conseguenze fisiche. Relazione tra la densità spettrale di potenza e la covarianza. La necessità di una dipendenza della densità spettrale di potenza dal modulo del numero d’onda k implica l’esistenza d’una correlazione spaziale del campo di forza, che si può interpretare fisicamente come una correlazione tra le sorgenti delle vibrazioni ambientali situate sulla superficie terrestre ovvero come conseguenza della dimensione finita delle forze agenti. È infatti ben noto (p. es., Priestley, 1981; Vanmarcke, 2010) che la densità spettrale di potenza sia la trasformata di Fourier della funzione di covarianza nel dominio spaziotemporale, R F,j ( x , y , t ): , (4) per ogni j = x,y,z .Quando la funzione di covarianza è spazialmente isotropa, usando le coordinate polari nel piano orizzontale, x ≡ ( r,θ ) T , si può scrivere R F,j ( r , t ). Se anche il piano del numero d’onda è descritto con coordinate polari, k ≡ ( k, φ ) T , la precedente formula diventa: , (5) per ogni j = x,y,z , essendo J 0 la funzione di Bessel di prima specie di ordine zero. Questa formula esprime il noto risultato che la densità spettarle di potenza rispetto al numero d’onda è la trasformata di Hankel di ordine zero della covarianza rispetto alla distanza e che essa dipende solo dal modulo del numero d’onda e non dalla sua direzione. Poiché la formula inversa ha la stessa struttura, risulta chiaramente che la densità spettrale di potenza è isotropa rispetto a k se e solo se tale è la covarianza rispetto ad x . Dunque l’isotropia in k della potenza significa che la correlazione tra le sorgenti dipende solo dalla loro distanza reciproca e non dalla direzione orizzontale. È importante notare che questa ipotesi, fisicamente ragionevole, è assunta per tutte le tre componenti del campo di forza e non implica isotropia dell’intensità del campo di forza stesso, il quale può agire in modi diversi lungo direzioni diverse, a condizione che la correlazione spaziale si mantenga orizzontalmente isotropa. Se poi la covarianza del campo di forza è separabile nelle sue due variabili, cioè se esistono due funzioni tali che R F,j ( r,t ) = C F,j ( r ) ⋅ Θ F,j ( t ), lo spettro della j- esima componente della forza diventa: , (6) sicché, quando la funzione di covarianza è separabile, tale è anche la densità di potenza spettrale, essendo il prodotto di una funzione del modulo del numero d’onda k e di una funzione della pulsazione ω . Dall’Eq. (6) discende che condizione necessaria per l’esistenza della densità spettrale di potenza della forza è la trasformabilità secondo Fourier di Θ F,j ( t ) e quella secondo Hankel di C F,j ( r ). Anche se questa proprietà può essere sufficiente per la componente temporale, la trasformata di Hankel di C F,j ( r ) deve inoltre essere convergente in k come detto alla fine del paragrafo precedente. In particolare, C F,j ( r ) non può essere una delta di Dirac, perché il suo spettro non può essere piatto in k , cioè, come detto, il p.s.s. forza non può essere un rumore bianco spaziale. Una scelta possibile per la covarianza spaziale di ogni j- esima componente del campo di forza è una funzione di tipo gaussiano (bidimensionale): (7) 212 GNGTS 2014 S essione 2.2