GNGTS 2014 - Atti del 33° Convegno Nazionale

posizione sono b = a · n , con m, n ∈ ZxZ . La trasformata discreta di wavelet ( Discrete Wavelet Transform , DWT) può quindi essere definita come (Fedi e Quarta, 1998): (3) dove Ψ m,n = 2 – m /2 Ψ (2 – m x – n ) Tra i vari tipi di wavelets , le più utili sono quelle dotate di speciali proprietà matematiche, come le ondine ortogonali o bi-ortogonali. Ondine ortogonali formano una base ortonormale per qualsiasi funzione f ∈ L 2 ( R ), quindi f può essere espressa come: (4) Dato che il concetto di scala può essere associato a quello di frequenza, piccole scale sono in relazione con strutture del segnale ad alta frequenza e grandi scale con quelle a bassa frequenza (Daubechies e Paul, 1987). Quindi, le caratteristiche di flessibilità dell’analisi di wavelet la rende ottimale per l’analisi di segnali non stazionari composti da piccole lunghezze d’onda sovrapposte a grandi lunghezze d’onda (Fedi e Quarta, 1998). La scomposizione del segnale in basi di ondine ortonormali può essere interpretata come un’analisi a multirisoluzione del segnale, cioè un processo che correla un segnale f con la sua approssimazione a diverse scale. f sarà decomposta in una somma di approssimazioni del segnale a bassa risoluzione e di diversi dettagli del segnale ad alta risoluzione. Tale analisi non è univoca (Foufoula e Kumar, 1994) in quanto dipende dalla scelta dell’ondina Ψ . Questa scelta è funzione delle caratteristiche del segnale, a differenza della trasformata di Fourier. Grazie alla proprietà della DWT di fornire una rappresentazione spazio-scala dell’anomalia analizzata è possibile eseguire denoising localizzato, ovvero filtrare determinate frequenze solo in alcune porzioni del segnale lasciando inalterata la parte non filtrata. Ciò rappresenta un’ulteriore differenza rispetto alla trasformata di Fourier, per la quale è possibile realizzare solo un denoising globale, in quanto il supporto delle funzioni analizzanti della trasformata di Fourier risulta essere infinito nel dominio spaziale. Il segnale sul quale è stato eseguito il denoising consiste in 136 dati (tanti quanti erano i gates calcolati inizialmente dal forward model ) che sono stati interpolati in modo equispaziato. Il vettore di dati è stato poi estrapolato ai bordi fino ad ottenere un vettore di 256 campioni. L’ondina utilizzata è stata la “ Interpolating ”. L’analisi a multirisoluzione ha fornito la scomposizione del segnale in 7 dettagli e un’approssimazione del segnale a bassa risoluzione (Fig. 1, linea nera, nella parte più in alto del grafico). Il rumore dà evidenze su diverse scale, e soprattutto alle scale -4, -5, -6 e Fig. 1 – Multirisoluzione del transiente elettromagnetico. 138 GNGTS 2014 S essione 3.2