GNGTS 2015 - Atti del 34° Convegno Nazionale

GNGTS 2015 S essione 2.2 115 modulo k e dal suo argomento ϕ , l’ipotesi significa che h F non dipende da ϕ , ovvero che lo spettro della forza dipende da due sole variabili: h F, j ( k , ω ), j = x , y , z. La densità spettrale di potenza di ciascuna delle tre componenti cartesiane dello spostamento del campo delle vibrazioni ambientali (autospettro) ha allora la forma (3) per i=x,y,z . L’espressione esplicita di queste funzioni può essere trovata, ad esempio, in Lunedei e Albarello (2015). Relazione tra la densità spettrale di potenza e la covarianza. È ben noto che la densità spettrale di potenza sia la trasformata di Fourier della funzione di covarianza nel dominio spaziotemporale, R F,j ( x , y , t ): (4) per ogni j = x,y,z (p. es., Lunedei e Albarello, 2014, 2015). Quando la funzione di covarianza è spazialmente isotropa, usando le coordinate polari anche nel piano orizzontale, x ≡ ( r, θ ) T , si può scrivere R F,j ( r , t ). Se anche il piano del numero d’onda è descritto con coordinate polari, k ≡ ( k, ϕ ) T , la precedente formula diventa (5) per ogni j = x,y,z , essendo J 0 la funzione di Bessel di prima specie di ordine zero. Questa formula esprime il noto risultato che la densità spettrale di potenza rispetto al numero d’onda è la trasformata di Hankel di ordine zero della covarianza rispetto alla distanza e che essa dipende solo dal modulo del numero d’onda e non dalla sua direzione. Poiché la formula inversa ha la stessa struttura, risulta chiaramente che la densità spettrale di potenza è isotropa rispetto a k se e solo se tale è la covarianza rispetto ad x . Dunque l’isotropia in k della potenza significa che la correlazione tra le sorgenti dipende solo dalla loro distanza reciproca e non dalla direzione orizzontale. È importante notare che questa ipotesi, fisicamente ragionevole, è assunta per tutte le tre componenti del campo di forza e non implica isotropia dell’intensità del campo di forza stesso, il quale può agire in modi diversi lungo direzioni diverse, a condizione che la correlazione spaziale si mantenga orizzontalmente isotropa. Fissati due punti sul piano orizzontale, l’origine ed x ≡ ( r, θ ) T , la covarianza spaziale fra gli spostamenti in tali due punti è espressa da una formula analoga all’inversa dell’Eq. 4: (6) per j=x,y,z . Essendo x fissato, questa può essere vista come la funzione di covarianza mutua rispetto al tempo tra gli spostamenti in questi due punti. Pertanto è possibile descrivere lo spettro mutuo ( cross-spectrum ) rispetto alla frequenza tra essi in termini della relativa trasformata di Fourier: (7) per i=x,y,z . Grazie alle suddette ipotesi, l’integrale si separa nella parte angolare, calcolabile analiticamente, ed in quella dipendente dal modulo k , che è la sola parte da calcolarsi numericamente. In questo modo, la densità spettrale di potenza del campo di spostamento si calcola, per ogni direzione, con una sola integrazione nel modulo del numero d’onda k . Quando i due punti coincidono (cioè x = 0 ), si ritrova la potenza totale dello spostamento lungo la direzione i -esima ( i = x,y,z ) alla pulsazione ω, data dallo spettro marginale (Lunedei e