GNGTS 2015 - Atti del 34° Convegno Nazionale

116 GNGTS 2015 S essione 2.2 Albarello, 2014, 2015): (8) Come spiegato in Lunedei e Albarello (2014, 2015), l’integrale nell’Eq. 8 (per ogni i = x,y,z ) converge solo se le funzioni h F, j ( k ,ω) ( j = x , y , z ) sono infinitesime al divergere di k e ciò implica che il p.s. forza non può essere un processo puramente aleatorio (ossia un rumore bianco) rispetto allo spazio. Ciò significa che la forza deve avere un “colore” relativamente alla dimensione spaziale, il che ha importanti conseguenze fisiche: la necessità d’una dipendenza della densità spettrale di potenza dal modulo del numero d’onda k implica infatti l’esistenza d’una correlazione spaziale del campo di forza, che si può interpretare fisicamente come una correlazione tra le sorgenti (puntuali) delle vibrazioni ambientali situate sulla superficie terrestre ovvero come conseguenza della dimensione finita di tali sorgenti. La curva di dispersione secondo la definizione f-k. Nel caso ideale di un’antenna sismica costituita da un’infinità continua di ricevitori, la relativa funzione di risposta sarebbe una delta di Dirac, cosicché la stima della densità spettrale di potenza da essa fornita sarebbe esattamente la potenza data dall’Eq. 3. In tale situazione, la curva di dispersione definita dal metodo f-k per la componente del moto i- esima sarebbe c i (ω) = ω / k i (ω) tale che (9) per i = x,y,z . L’Eq. 3 consente quindi di calcolare tale curva di dispersione, date le proprietà spettrali del campo di forza e la stratigrafia, con un procedimento di ricerca numerica del valore massimo affatto analogo a quello condotto nell’elaborazione dei dati sperimentali con la tecnica f-k. Si può dimostrare che, se il campo di forza è isotropo, cioè h F,,x ( k ,ω) = h F,,y ( k ,ω), la suddetta definizione della curva di dispersione c z ( ω ) relativa alla componente verticale del moto non dipende dall’angolo ϕ . La curva di dispersione secondo la definizione SPAC. Fissati due punti sulla superficie terrestre, uno nell’origine e l’altro in x , la coerenza fra gli spostamenti osservati in tali due punti lungo la direzione i- esima è, per definizione, (10) Per la componente verticale del moto, quando lo spostamento è dovuto ad onde stazionarie indipendenti che si propagano isotropicamente in tutte le direzioni orizzontali con comune velocità di fase c z ( ω ) , tale coerenza eguaglia la funzione di Bessel J 0 (ω · r / c z (ω)) (Aki, 1957). La curva di dispersione relativa a tale componete del moto secondo il metodo SPAC resta quindi definita come la funzione c z (ω) che verifica l’equazione (11) L’analogia fra le due descrizioni sussiste solo se il campo di forza è isotropo, cioè h F,,x ( k ,ω) = h F,,y ( k ,ω), nel qual caso si può dimostrare che il numeratore del membro destro dell’Eq. 11, dato dall’Eq. 7 con i = z , non dipende da θ . In tal caso, le Eqq. 7 ed 8 permettono il calcolo del membro destro, frequenza per frequenza, con due integrazioni nel modulo del numero d’onda. Quindi la velocità di fase c z (ω) può essere trovata invertendo numericamente la funzione di Bessel J 0 , nello stesso modo in cui si determina la curva di dispersone dall’analisi dei dati sperimentali con il metodo SPAC. Un esempio numerico. Si considera il classico esempio derivante dalla stratigrafia reale introdotta da Tokimatsu (1997) ed Arai e Tokimatsu (2004), denominata da tali autori “sito A”. La medesima è stata utilizzata in Lunedei e Albarello (2014, 2015), dove la viscosità è stata introdotta rendendo complesse le velocità delle onde di volume; come nei citati lavori,