GNGTS 2016 - Atti del 35° Convegno Nazionale

GNGTS 2016 S essione 3.3 601 Come abbiamo già detto, il potenziale newtoniano delle sorgenti di cui sopra soddisfa l’equazione di Laplace-Poisson, in modo che U e le sue derivate parziali siano armoniche nelle regioni in cui la densità ρ = ​0. Il campo omogeneo più semplice è il potenziale newtoniano in r di un punto-massa in r 0 (3) dove γ è la costante di gravitazione universale. Infatti, l’ equazione di Poisson (Eq.1) descrive il rapporto tra la massa e il potenziale in tutto lo spazio, in modo che possiamo utilizzare la proprietà di differenziazione delle funzioni omogenee e concludere che se la sorgente è una funzione omogenea di grado n s , il potenziale newtoniano U è anch’esso omogeneo di grado n , dato da: n= n s +2. (4) Utilizzando la stessa proprietà di differenziazione si può anche definire il grado di omogeneità di qualsiasi derivata parziale di un potenziale newtoniano del p mo ordine: n = n s – p +2 (5) In particolare, avremo, per il campo di gravità: n g = n s +1 (6) e per la sua deriata verticale: n g’ = n s . (7) Infine, utilizzando il teorema di Poisson, che lega i potenziali gravitazionali e magnetici, possiamo facilmente ricavare una relazione analoga per il campo magnetico: n m =n g’ = n s . (8) Come vedremo nel prossimo paragrafo, l’Eq. (8) è rilevante, poiché afferma che il grado di omogeneità del campo magnetico o dei componenti del tensore gradiente di gravità è lo stesso delle relative distribuzioni di sorgente della suscettibilità magnetica o della densità. Definizione univoca dell’indice strutturale. Grazie all’Eq. (8) possiamo così inequivocabilmente definire in modo semplice il parametro noto in letteratura come indice strutturale ( N ). N viene solitamente indicato come parametro di sorgente, per distinguerlo dal grado di omogeneità, n , che è un concetto matematico in grado di definire qualsiasi quantità omogenea e quindi può essere usato sia per un campo o per le sorgenti. Nonostante ciò, N è stato spesso definito in relazione all’esponente della legge di potenza che caratterizza il campo magnetico dei campi omogenei (Thompson, 1982). Un punto debole di questa definizione è che in alcuni casi il campo non ha però una forma di legge di potenza (ad esempio, il campo magnetico di un contatto infinito). Troviamo inoltre inadeguata le definizioni per lequali N non ha un chiaro valore, ma cambia con il campo scelto. Il punto debole di questo approccio è, infatti, che N è un parametro di sorgente, che è invece definita come l’opposto di un parametro di campo ( n ). Ora proponiamo che sia invece sufficiente definire l’indice strutturale nel modo più naturale, ossia: N =- n s = -n g ’ (9) Con questa definizione, ci si limita ad affermare che il vero significato dell’indice strutturale è la dimensione del supporto concentrato delle distribuzioni di sorgente, valido per le sorgenti ideali (funzioni generalizzate). In questo modo, l’indice strutturale è davvero un parametro di sorgente, anche se valutato sulla base delle misure dei campi di potenziale. In altre parole,