GNGTS 2019 - Atti del 38° Convegno Nazionale

GNGTS 2019 S essione 3.1 595 (1) in cui: c d è il vettore dei dati, f è il modello diretto non lineare (la cui derivata di Fréchet calcolata in β n –1 è J ), mentre C e W m sono le matrici dei pesi, rispettivamente, dei dati e dei parametri del modello. L’obiettivo è, quindi, quello di individuare, dopo n iterazioni, la modifica Δ β n = ( β n – β 0 ) che minimizza la distanza fra i lati dell’Eq. 1. Tipicamente n è determinato dinamicamente dalla condizione di stazionarietà del funzionale obiettivo (Eq. 1). C può essere preso coincidente con la matrice di covarianza dei dati. Se si sceglie W m uguale al prodotto tra il parametro di regolarizzazione di Tikhonov λ e un’approssimazione discreta della derivata spaziale L , risolvere il sistema di equazioni Eq. 1, coincide con l’applicare la regolarizzazione MGN. Quindi, nel caso di un modello iniziale omogeneo, la soluzione MGN è caratterizzata dalla minima variazione di velocità tra strati adiacenti. Se, invece, si considera, W m = λ diag ( W e ) L , con W e = (( L Δ β n ) 2 + ε 2 ) –1/2 , allora, la regolarizzazione è del tipo MGS, e, sempre se si ha a che fare con un β 0 omogeneo, la soluzione individuata è caratterizzata dal numero minimo di parametri (strati) in cui si verifica una variazione significativa di velocità. Quindi, nel caso MGS, rispetto al più tradizionale MGN, non è tanto l’ammontare della variazione che conta, ma, piuttosto, il numero di parametri (il supporto) in cui la variazione avviene. Una variazione contribuisce significativamente al valore dello stabilizzatore MGS nell’Eq. 1 tutte le volte che è grande rispetto alla soglia determinata dal parametro di focalizzazione ε (Vignoli et al. , 2015); quindi, come è evidente dai casi di studio seguenti, una strategia per selezionare ε può consistere nello scegliere il parametro di focalizzazione dell’ordine di grandezza delle variazioni di velocità che si vogliono investigare. Il parametro λ, potenzialmente, può essere scelto in molti modi (per es., studiando la “L-curve”). Qui, invece, essendo, per i dataset studiati, disponibile una stima del rumore nei dati, λ è selezionato in modo da soddisfare l’uguaglianza (con N d numero dei dati). Fig. 1 - Esempio a scala crostale. (a), (b), e (c) mostrano il modello di velocità da ricostruire ed il modello di partenza β 0 . In (a), la linea nera corrisponde alla soluzione MGS, ed è da confrontare con il risultato MGN - in verde in (b). In (c) è mostrato il risultato MGS calcolato con un valore di λ inferiore (e corrispondentemente da un valore χ 2 più piccolo: invece di 0.93, in questo caso, χ 2 è circa 0.81). Per ogni inversione, sono indicate anche le stime delle DOI (Depth Of Investigation) associate ad ogni modo di propagazione e calcolate basandosi su uno studio di sensitività. In (d), sono indicate le risposte dei corrispondenti modelli in (a), (b), e (c) e i dati sintetici invertiti disponibili in letteratura (caratterizzati da un rumore pari al 2.5% - Haney e Tsai, 2017).