GNGTS 2021 - Atti del 39° Convegno Nazionale

GNGTS 2021 S essione 2.2 290 STRUTTURA SPETTRALE DEL CAMPO DELLE VIBRAZIONI SISMICHE AMBIENTALI GENERATE DA UNA DISTRIBUZIONE SUPERFICIALE DI SORGENTI DI DIMENSIONE FINITA E. Lunedei 1 , D. Albarello 2 1 Centro Interdipartimentale “Alma Mater Research Institute on Global Challenges and Climate Change (Alma Climate)”, Università degli Studi di Bologna, Italia 2 Dipartimento di Scienze Fisiche, della Terra e dell’Ambiente dell’Università degli Studî di Siena, Italia Introduzione In alcuni recenti lavori (Lunedei & Albarello, 2014, 2015a, 2015b, 2016) è stata introdotta una descrizione del campo delle vibrazioni sismiche ambientali come campo stocastico, nell’ambito dei modelli nei quali esse si assumono generate da una distribuzione superficiale di sorgenti (DSS). In un quadro formalmente unitario, questa teoria permette di ottenere espressioni per i rapporti HVSR e per le curve di dispersione, le principali grandezze estratte dalle misure di sismica passiva. Si propone ora un avanzamento di tale modello, nel quale la dimensione finita delle sorgenti è descritta a mezzo della correlazione spaziale del campo di forza, in una forma che tiene conto del legame fra l’estensione spaziale della sorgente ed il contributo in frequenza ch’essa fornisce al moto del suolo. Questo lavoro è oggetto della pubblicazione Lunedei & Albarello (2021). Spostamento e forza come processi stocastici In un modello a strati piano-paralleli del sottosuolo, in cui la superficie è descritta dalle coordinate cartesiane ( x,y ) T , il campo di spostamento delle vibrazioni ambientali, U ( x,y,t ), ed il campo di forza che lo genera, F ( x,y,t ), sono assunti essere due processi stocastici stazionarî tridimensionali e trivariati, per i quali esiste la densità spettrale di potenza, rappresentata dalle due matrici spettrali h U ed h F , dipendenti dalla pulsazione ω e dal vettore numero d’onda orizzontale ( k x ,k y ) T . La linearità della relazione fra lo spostamento ed il campo di forza che lo genera implica STRUTTURA SPETTRALE DEL CAMPO DELLE VIBRAZIONI SISMICHE AMBIENTALI GEN UNA DISTRIBUZIONE SUPERFICIALE DI SORGENTI DI DIMENSIONE FINITA E. Lunedei 1 , D. Albarello 2 1 Centro Interdipartimentale “Alma Mater Research Institute on Global Challenges and Climate Ch Climate)”, Università degli Studi di Bologna, Italia, 2 Dipartimento di Scienze Fisiche, della Terra e dell'Ambiente dell'Università degli Studî di Siena, Italia. Introduzione. In alcuni recenti lavori (Lunedei & Albarello, 2014, 2015a, 2015b, 2016) è stata int descrizione del campo delle vibrazioni sismiche ambientali come campo stocastico, nell’ambito dei mod esse si assumono generate da una distribuzione superficiale di sorgenti (DSS). In un quadro formalme questa teoria permette di ottenere espressioni per i rapporti HVSR e per le curve di dispersione, le principa estratte dalle misure di sismica passiva. Si propone ora un avanzamento di tale modello, nel quale la dime delle sorgenti è descritta a mezzo della correlazione spaziale del campo di forza, in una forma che tie legame fra l’estensione spaziale della sorgente ed il contributo in frequenza ch’essa fornisce al moto del s lavoro è oggetto d’una proposta di pubblicazione in corso di valutazione (Lunedei & Albarello, 2021). Spostamento e forza come processi stocastici. In un mo llo a str ti piano-paralleli del sottosuolo, in cui è descritta dalle coordinate cartesiane ( x,y ) T , il c mpo di spostamento delle vibrazioni ambientali, U ( x,y,t ), di forza che lo g nera, F ( x,y,t ), sono ssunti essere due processi stocastici stazionarî tridimensionali e tri quali esiste l den ità spettrale di potenza, rappresentata dalle du matrici sp trali h U ed h F , dipendenti dall ω e dal vettore numero d’onda orizzontale ( k x ,k y ) T . La linearità della relazione fra lo spostam nt ed il ca che lo genera implica h U ( k x , k y , ω )= ^ G ( k x , k y , ω ) ⋅ h F ( k x , k y , ω ) ⋅ ^ G ¿ ( k x , k y ,ω ) , dove “*” indica la coniugazione hermitiana e Ĝ è la matrice di Green nel dominio frequenza e numero d'o me poi che le tre componenti cartesiane del campo di forza siano tra loro non correlate, implicando ciò ch spettrale della forza sia diagonale h F ( k x , k y , ω ) ≡ diag( h F,x ( k x , k y , ω ), h F,y ( k x , k y , ω ), h F,z ( k x , k y , ω ) ). La potenza totale dello spostamento lungo la direzione i -esima ad ogni pulsazione ω è data così dallo spettr P U ,i ( ω )= 1 ( 2 π ) 2 ∫ R 2 ∑ j = x , y , z | ^ G ij ( k x , k y , ω ) | 2 ⋅ h F , j ( k x , k y , ω ) d k x d k y . [1] Infine, si assume l’isotropia orizzontale delle tre componenti cartesiane del campo di forza, sicché, nelle co lari ( k , ϕ ) T , si ha h F, j ( k , ω ) ( j = x , y , z ) e l’integrale nell’eq. 2 si separa nella parte angolare, calcolabile analiti in quella radiale, da calcolarsi numericamente; affinché tale integrale converga, le funzioni h F, j ( k , ω ) devon nitesime al divergere di k . Covarianza non separabile. La necessità d’una dipendenza della densità spettrale di potenza da k implic d’una correlazione spaziale del campo di forza, che, nei citati lavori, è stata scelta isotropa e separabile, nell ~ R F , j ( r , t ) = Θ F , j ( t ) ⋅ b j 2 π d j 2 ⋅ exp ( − r 2 2 d j 2 ) , ∀ j = x , y , z , [2] essendo ( r,θ ) T coordinate polari nel piano orizzontale. In tale espressione, tuttavia, la correlazione spaziale d è indipendente dalla frequenza, e, per superare tale limitazione, s’introduce ora una funzione di covarianza bile, , dove “*” indica la coniugazione hermitiana e Ĝ è la ​matrice di Green nel dominio frequenza e numero d’onda. Si assume poi che le tre componenti cartesiane del campo di forza siano tra loro non correlate, implicando ciò che la matrice spettrale della forza sia diagonale h F ( k x , k y ,ω) ≡ diag( h F,x ( k x , k y ,ω), h F,y ( k x , k y ,ω), h F,z ( k x , k y ,ω) ). La potenza totale dello spostamento lungo la direzione i -esima a ogni pulsazione ω è data così dallo spettro marginale: STRUTTURA SPETTRALE DEL CAMPO DELLE VIBRAZIONI SISMICHE AMBIENTALI GEN UNA DISTRIBUZIONE SUPERFICIALE DI SORGENTI DI DIMENSIONE FINITA E. Lunedei 1 , D. Albarello 2 1 Centro Interdipartimentale “Alma Mater Research Institute on Global Challeng s and Climate Ch Climate)”, Università degli Studi di Bologna, Italia, 2 Dipartimento di Scienze Fisiche, della Terra e dell'Ambiente dell'Università degli Studî di Siena, Italia. Introduzione. In alcuni recenti lavori (Lunedei & Albarello, 2014, 2015a, 2015b, 2016) è stata int descrizione del campo delle vibrazioni sismiche ambientali come campo stocastico, nell’ambito dei mode esse si assumono generate da una distribuzione superficiale di sorgenti (DSS). In un quadro formalme questa teoria p rmette di ottenere espressioni per i rapporti HVSR e per le curve di dispersione, le principa estratte dalle misure di sismica passiva. Si propone ora un avanzamento di tale modello, nel quale la dime delle sorgenti è descritta a mezzo della correlazione spaziale del campo di forza, in una forma che tie legame fra l’estensione spaziale della sorgente ed il contributo in frequenza ch’essa fornisce al moto del s lavoro è oggetto d’una proposta di pubblicazione in corso di valutazione (Lunedei & Albarello, 2021). Spostamento e forza come processi stocastici. In un modello a strati piano-paralleli del sottosuolo, in cui è descritta dalle coordinate cartesiane ( x,y ) T , il campo di spostamento delle vibrazioni ambientali, U ( x,y,t ), di forza che lo genera, F ( x,y,t ), sono assunti essere due processi stocastici stazionarî tridimensionali e tri quali esiste la densità spettrale di potenza, rappresentata dalle due matrici spettrali h U ed h F , dipendenti dall ω e dal vettore numero d’onda orizzontale ( k x ,k y ) T . La linearità della relazione fra lo spostamento ed il ca che lo genera impli a h U ( k x , k y , ω )= ^ G ( k x , k y , ω ) ⋅ h F ( k x , k y , ω ) ⋅ ^ G ¿ ( k x , k y ,ω ) , dove “*” indica la coniugazione hermitiana Ĝ è l matrice di Green nel dominio frequenza e numero d'o me poi che le tre componenti cartesiane del campo di forza siano tra loro non correlate, implicando ciò ch spettrale d lla forz sia diagonale h F ( k x , k y , ω ) ≡ diag( h F,x ( k x , k y , ω ), h F,y ( k x , k y , ω ), h F,z ( k x , k y , ω ) ). La potenza totale dello spostamento lungo la direzione i -esima ad ogni pulsazione ω è data così dallo spettr P U ,i ( ω )= 1 ( 2 π ) 2 ∫ R 2 ∑ j = x , y , z | ^ G ij ( k x , k y , ω ) | 2 ⋅ h F , j ( k x , k y , ω ) d k x d k y . [1] Infine, si assume l’isotropia orizzontale delle tre componenti cartesiane del campo di forza, sicché, nelle co lari ( k , ϕ ) T , si ha h F, j ( k , ω ) ( j = x , y , z ) e l’integrale nell’eq. 2 si separa nella parte angolare, calcolabile analiti in quella radiale, da calcolarsi numericamente; affinché tale integrale converga, le funzioni h F, j ( k , ω ) devon nitesime al divergere di k . Covarianza non separa ile. La necessità d’una dipendenza della densità spettrale di potenza da k implic d’una correlazione spaziale del campo di forza, che, nei citati lavori, è stata scelta isotropa e separabile, nell ~ R F , j ( r , t ) = Θ F , j ( t ) ⋅ b j 2 π d j 2 ⋅ exp ( − r 2 2 d j 2 ) , ∀ j = x , y , z , [2] essendo ( r,θ ) T coordinate polari nel piano orizzontale. In tale espressione, tuttavia, la correlazione spaziale d [1] Infine, si assume l’isotropia orizzontale delle tre componenti cartesiane del campo di forza, sicché, nelle coordinate polari ( k , ϕ ) T , si ha h F, j ( k ,ω) ( j = x , y , z ) e l’integrale nell’eq. 2 si separa nella parte angolare, calcolabile analiticamente, ed in quella radiale, da calcolarsi numericamente; affi ché tale integrale converga, le funzioni h F j ( k ,ω) devono essere infinitesime al divergere di k .