GNGTS 2021 - Atti del 39° Convegno Nazionale

291 GNGTS 2021 S essione 2.2 Covarianza non separabile La necessità d’una dipendenza della densità spettrale di potenza da k implica l’esistenza d’una correlazione spaziale del campo di forza, che, nei citati lavori, è stata scelta isotropa e separabile, nella forma [2] essendo ( r,θ ) T coordinate polari nel piano orizzontale. In tale espressione, tuttavia, la correlazione spaziale delle sorgenti è indipendente dalla frequenza, e, per superare tale limitazione, s’introduce ora una funzione di covarianza non separabile, [3] essendo B j la varianza del campo di forza nella j -ma direzione ed R j e T j scale spaziotemporali caratteristiche. La covarianza spaziale delle sorgenti rispetto alla frequenza si ottiene tramite una trasformata di Fourier, R 2 j = x , y , z [1] Infine, si assume l’isotropia orizzontale delle tre componenti cartesiane del campo di forza, sicché, nelle coor lari ( k , ϕ ) T , si ha h F, j ( k , ω ) ( j = x , y , z ) e l’integrale nell’eq. 2 si separa nella parte angolare, calcolabile analitica in quella radiale, da calcolarsi numericamente; affinché tale integrale converga, le funzioni h F, j ( k , ω ) devono e nitesime al divergere di k . Cov rianza non separabile. La necessità d’una dipendenza della densità s ettral di potenza d k implica d’una correlazione spaziale del campo di forza, che, nei citati lavori, è stata scel a isotropa e separabile, nella f ~ R F , j ( r , t ) = Θ F , j ( t ) ⋅ b j 2 π d j 2 ⋅ exp ( − r 2 2 d j 2 ) , ∀ j = x , y , z , [2] essendo ( r,θ ) T coordinate polari nel piano orizzontale. In tale espressione, tuttavia, la correlazione spaziale dell è indipendente dalla frequenza, e, per superare tale limitazione, s’introduce ora una funzione di covarianza n bile, R F, j ( r , t )= B j [ ( r R j ) 2 + 1 ] 1 / 4 ⋅ exp ( − ( t T j ) 2 4 √ ( r R j ) 2 + 1 ) , ∀ j = x , y , z , [3] essendo B j la varianza del campo di forza nella j -ma direzione ed R j e T j scale spaziotemporali caratteristiche. rianza spaziale delle sorgenti rispetto alla frequenza si ottiene tramite una trasformata di Fourier, C F , j ( r ; ω )= 2 π B j T j ⋅ exp [ − ( ωT j ) 2 √ ( r R j ) 2 + 1 ] , ∀ j = x , y , z , [4] e decade con la distanza r in un modo dipendente dalla frequenza, il che rappresenta l’aspetto chiave di quest di correlazione, essendo fisicamente plausibile che sorgenti attive sulle basse frequenze siano spazialmente pi quelle agenti sulle alte frequenze. [4] e decade con la distanza r in un modo dipendente dalla frequenza, il che rappresenta l’aspetto chiave di questo modello di correlazione, essendo fisicamente plausibile che sorgenti attive sulle basse frequenze siano spazial ente più estese di quelle agenti sulle alte frequenze. L’intensità della correlazione spaziale del campo di forza può essere efficacemente descritta, dal punto di vista fisico, introducendo un “raggio effettivo di correlazione”, quale distanza oltre la quale la coerenza essere efficacemente descritta, dal punto di vista fisico, nza oltre la quale la co e a C F , j ( r ; ω )/ C F, j ( 0 ; ω ) nte all’aumentare della frequenza (in valore assoluto) e ω per ogni coppia di parametri di scala il cui rapporto effettivo varia da circa 100 m (a 0,1 Hz) a circa 1 m (ad endo indicativamente alla dimensione tipica delle onde bientali). Ciò trova una spiegazione considerando che γ | / 2 , uenza υ delle onde oceaniche, ). Se, dunque, il raggio di correlazione effettivo è assunto nti, ne scaturisce la relazione scende al di sotto d’una soglia stabilita, L’intensità della correlazione spaziale del campo di forza introducendo un “raggio effettivo di correlazione”, quale scende al di sotto d’una soglia stabilita, γ ∈ ¿ 0 ; 1 ¿ , ovv r γ, j ( ω ) = R j ∙ | log γ | ( ωT j ) 2 √ 1 + 2 ( ωT j ) 2 | log γ | , ∀ j = x , y , z . [5] Questo raggio di correlazione effettivo è strettamente de mostra, con ottima approssimazione, la stessa dipendenz R j / T j 2 sia costante. Quando tale rapporto vale 10 m/s 2 , il r 1 Hz), valori che si possono considerare realistici, corris marine (una delle sorgenti più importanti delle vibrazio l’approssimazione d’ordine zero dell’eq. 5, per ωT j ≪ √ r γ, j ( ω ) ≅ R j T j 2 ∙ | log γ | ω 2 , ∀ j = x , y , z , ha la stessa forma della relazione fra lunghezza d’onda λ e λ = g 2 π ∙ υ − 2 , essendo g il modulo dell’accelerazione di gravità (Aspel, essere rappresentativo della lunghezza d’onda tipica delle R j T j 2 ≅ 2 πg | log γ | , ∀ j = x , y , z , [6] che, quando γ è dell’ordine di 10 -2 ÷10 -3 , assume un valore O, ovvero, L’intensità della correlazione spaziale del campo di forza può essere efficacemente descritta, dal punto di vi introduc ndo un “raggio effettivo di correlazione”, quale distanza oltre l quale la coerenza C F , j ( r ; ω )/ C scende al di sotto d’una soglia stabilita, γ ∈ ¿ 0 ; 1 ¿ , ovvero, r γ, j ( ω ) = R j ∙ | log γ | ( ωT j ) 2 √ 1 + 2 ( ωT j ) 2 | log γ | , ∀ j = x , y , z . [5] Qu sto raggio di correlazio e effettivo è strettamente decrescente all’aumentare della frequenza (in valore a mostra, con ottima approssimazione, la stessa dipendenza da ω per ogni coppia di parametri di scala il cui R j / T j 2 si ost nte. Quando tale rapporto vale 10 m/s 2 , il raggio effettivo varia da circa 100 m (a 0,1 Hz) a circ 1 Hz), valori che si pos ono considerare realistici, corrispondendo indicativamente alla dimensione tipica d mar ne (un delle sorgenti più importanti delle vibrazioni ambientali). Ciò trova una spiegazione consider l’approssimazione d’ordine zero dell’eq. 5, per ωT j ≪ √ | log γ | / 2 , r γ, j ( ω ) ≅ R j T j 2 ∙ | log γ | ω 2 , ∀ j = x , y , z , ha la stessa forma della relazione fra lunghezza d’onda λ e frequenza υ delle onde oceaniche, λ = g 2 π ∙ υ − 2 , ess ndo g il modulo dell’acc lerazione di gravità (Aspel, 1987). Se, dunque, il raggio di correlazione effettivo essere rappr sentativo della lunghezza d’onda tipica delle sorgenti, ne scaturisce la relazione R j T j 2 ≅ 2 πg | log γ | , ∀ j = x , y , z , [5] Questo raggio di correlazione effettivo è strettamente decrescente all’aumentare della frequenza (in valore assoluto) e mostra, con ottima approssimazione, la stessa dipendenza da ω per ogni coppia di parametri di scala il cui rapporto R j / T j 2 sia costante. Quando tale rapporto vale 10 m/s 2 , il raggio effettivo varia da circa 100 m (a 0,1 Hz) a circa 1 m (ad 1 Hz), valori che si possono considerare realistici, corrispondendo indicativamente alla dimensione tipica delle onde marine (una delle sorgenti più importanti delle vibrazioni ambientali). Ciò trova una spiegazione considerando che l’approssimazione d’ordine zero dell’eq. 5, per L’intensità della correlazione spaziale del campo di forza p ò essere efficacemente descri introducendo un “raggio effettivo di correlazione”, quale distanza oltre la quale la coeren scende al di sotto d’una soglia stabilita, γ ∈ ¿ 0 ; 1 ¿ , ovvero, r γ, j ( ω ) = R j ∙ | log γ | ( ωT j ) 2 √ 1 + 2 ( ωT j ) 2 | log γ | , ∀ j = x , y , z . [5] Quest raggio di correlazione effettivo è strettamente decre cente all’aumentare della fre mostr , con ottima pprossimazione, la stessa dipe denza da ω per ogni coppia di para R j / T j 2 sia cost nte. Quando tale rapporto vale 10 m/s 2 , il raggio effettivo varia da circa 100 1 Hz), valori che si possono considerare realistici, corrispondendo indicativamente alla marine (una delle sorgenti più imp rtanti d lle vibrazioni ambientali). Ciò trova una s l’approssimazione ’ordine zero d ll’eq. , er ωT j ≪ √ | log γ | / 2 , r γ, j ( ω ) ≅ R j T j 2 ∙ | log γ | ω 2 , ∀ j = x , y , z , ha la stessa forma della relazione fra lunghezza d’onda λ e frequenza υ delle onde oceanich λ = g 2 π ∙ υ − 2 , essendo g il modulo dell’accelerazione di gravità (Aspel, 1987). Se, dunque, il raggio di co essere rappresentativo della lunghezza d’onda tipica delle sorgenti, ne scaturisce la relazion R j T j 2 ≅ 2 πg | log γ | , ∀ j = x , y , z , , L’inte sità della correlazione spaziale d campo di forza può essere ef icacemente descritta, dal punto di v introducendo un “raggio effettivo di correlazione”, quale distanza oltre l quale la coerenza F , j ( r ; ω )/ scende al di sotto d’una sog ia stabilita, γ ¿ 0 ; 1 ¿ , ovvero, r γ, j ( ω ) = j ∙ | log γ | ( T j ) 2 √ 1 + 2 ( T j ) 2 | log γ | , j x , y , z . [5] Questo r ggio di corr lazione effettiv è strettam nt dec e cente all’aumen are della frequenza (in va ore a most a, con tti a app ossimazione, stes a di end nz da ω per ogni coppia di parametri di scala il cui R j / T j 2 sia costante. Quando tale r pporto vale 10 m/s 2 , il aggio effettivo vari da circa 100 m (a 0,1 Hz) a circ 1 Hz), valori che si possono considerare realisti i, corrispo d ndo indicat va ente alla dimensione tipica d arine (un delle sorgenti più i portanti delle vibrazioni a bientali). Ciò trova u a spiegazione co side l’approssi azione d’ordine zero dell’eq. 5, per T j √ | log γ | / 2 , r γ, j ( ) ≅ R j T j 2 ∙ | log γ | ω 2 , ∀ j = x , y , z , ha la stessa forma della relazione fr lunghezza d’onda λ e frequenza υ elle onde oceaniche, λ g 2 π ∙ υ − 2 , essendo g il odulo d ll’accelerazione i gr vità ( spel, 1987). Se, dunque, il raggio di correlazione effettiv essere rappresentativo d ll lunghezza d’onda tipica delle sorgenti, ne scaturi ce la relazione j T j 2 2 πg | log γ | , j x , y , z , l tes f r el relazione fra lungh za d’onda λ e frequenza υ delle onde oceanich , ’i t it ll rr l i i l l i f r r ffi t ritt , l t i i i tr e r i ff tti i rr l i , l i t ltr l l l r , j / l i tt ’ li t ilit , , r , γ, j ( ) = j ∙ l ( j ) 2 √ 1 + ( j ) 2 l g γ , j , , . [ ] Q st r gi i orrel i ne ff tti è str ttam nt cres nte ll’ n ar ell fr (i l r tr , tti r i i , la ste sa i p r o ni ppi i p r tri di c l il c i R j / j 2 i tant . uando t l r pp rt val 1 m/ 2 , il ra io ff ttivo v ri ir a 0 ( 0, Hz) ir 1 ), al ri i pos o i r r r li ti i, rri i i ti t ll di e i tipic ri ( a ll r ti i i rt ti ll i r i i i t li). i tr i i i r l’ r i i ’or ine ero ll’e . , p r j l / , γ, j ( ) j j 2 ∙ | l | ω 2 , ∀ j x , , , l t s f r ll r l i fr l ’ fr ll i , ∙ , il l ll’ l r i i r it ( l, ). , u e, il r i i rr l i ff tti r r r t ti ll l ’ ti i ll r ti, t ri la r l i j j 2 2 l γ , j , , , modu o dell’accelerazione di gravità (Aspel, 1987). Se, dunque, il raggio di correlazione ffettivo è a sunto esse e rappresentativo della lunghezza d’o da tipica delle sorgen , ne